同样，还是以题目来说明。
1.Minimum Adjustment Cost
题目描述：
Given an integer array, adjust each integers so that the difference of every adjacent integers are not greater than a given number target.If the array before adjustment is A, the array after adjustment is B, you should minimize the sum of |A[i]-B[i]|
Notice: You can assume each number in the array is a positive integer and not greater than 100.
Example: Given [1,4,2,3] and target = 1, one of the solutions is [2,3,2,3], the adjustment cost is 2 and it’s minimal.
题目给出了一个数组A，并且给出了一个目标数字target。要求调整数组中每个位置的数字得到数组B，使得数组B中相邻元素的差值的绝对值小于等于target，且$sum(|A[i] - B[i]|)$最小。求得到最终结果时每个位置调整的和最小为多少。
题目只要求找出最小的调整开销的和，我这里再加一问：在调整和为最小值时，找出一个可能的数组B。
先来解决lintcode要求的问题。
Minimum Adjustment Cost题解:
我们应该能够想通一个问题，调整后的每个位置的数字都是在A数组中出现的最小值与最大值之间的数字。假设最小值是minVal，最大值是maxVal，所以数组B的每个位置上可选择的数字的个数为$count = maxVal - minVal + 1$。
构造一个二维数组$cost[n+1][count]$，n表示数组A中的个数。$cost[loop][j]$$(0 <= loop <= n, minVal <= j <= maxVal)$表示B数组中第loop个位置上（此时B的下标为loop-1）调整为数字j时的调整总和（包括loop之前的所有位置的调整的和）。那么当调整下一个位置loop+1时，调整为数字i的调整总和为$cost[loop+1][i] = min(cost[loop][j] + | i - A[loop] |)$,$|i - j| <= target$。这里j是上一个位置时调整的结果，因为有限制条件相邻的两个元素差的绝对值小于target，所以要用到上一个位置的数组；|i - A[i]|是此位置（数组B中第loop+1个数字，下标为loop）调整为i时调整的代价。最后的结果是$cost[n][i]$$(minVal <= i <= maxVal)$中最小的值。
可能我的表述不太清楚，加注释的代码可能表达的更清楚些：
我们发现，在每次比较找出最小开销的时候，可以在加一个辅助数组$record[n+1][count]$,记录每个位置时最小调整开销时选择的数字，最后得到了完整的cost列表之后，$cost[n][i]（minVal <= i <= maxVal）$中最小时i的值就是B[n-1]中的值，然后$record[n][i]$中记录的即使上一个位置对应的B中的值，一次类推，便能找到B数组一个可能的结果。同样，看代码可能更清楚点:
2.钢条切割问题
接下来我们再来看一下《算法导论》上给的一道经典题目，钢条切割问题。
题目描述：
一家公司有一根固定长度的钢条，要切割为短的钢条出售。切割工序本身没有成本。公司希望知道最佳的切割方案（即如何切割能够获得价格的最大值）。假设钢条的长度为n（此处假设n <= 10），不同长度i的钢条的价格如下表。
| 长度j | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 价格p | 1 | 5 | 8 | 9 | 10 | 17 | 17 | 20 | 24 | 30 |
应用动态规划的思想，我们可以这样考虑问题：假设长度为i时，最佳切割方案时的价格总和为$r[i]$$(0 <= i<= n)$，那么当长度为
i+1时，最佳的方案是$r[i+1] = max(p[j] + r[i+1-j]), 1<= j <= i+1$。所以状态转移方程即是：
同样，看代码可能思路更清晰：
|
|
这时函数返回的是最大的长度，再加一个辅助数组，在每次找出最大价值的时候记录切割位置，就可以找出切割方案了。代码如下：
这样，就找到最佳切割方案了。
3.最长公共子序列
最后，再来看另一道《算法导论》里面的经典问题——最长公共子序列，这到题目也非常适合用辅助数组来记录最优解。
题目描述：
给定两个序列X = {$x_1$, $x_2$, $x_3$, …, $x_m$ }, 和Y = {$y_1$, $y_2$, …, $y_n$}，求X和Y长度最长的公共子序列。公共子序列的定义为，给定两个序列X，Y，如果Z即是X的子序列，也是Y的子序列，我们称它是X和Y的公共子序列。
例如：X = {A, B, C, D, A, B}，Y = {B, D, C, B, A}，那么序列｛B, C, A｝就是X和Y的公共子序列，但不是最长公共子序列。X和Y的最长公共子序列是{B, C, A, B}，其长度为4。
解题思路：
我们假设Z = {$z_1$, …, $z_k$}是X和Y的一个最长公共子序列。1）如果$x_m$ == $y_n$，那么有$z_k$ == $x_m$ == $y_n$，所以$Z_{k-1}$是$X_{m-1}$和$Y_{n-1}$的一个最长公共子序列；2）如果$x_m$ != $y_n$且$x_m$ != $z_k$，那么Z是$X_{m-1}$和Y的一个最长公共子序列；3）如果$x_m$ != $y_n$且$z_k$ != $y_n$，那么Z是X和$Y_{n-1}$的一个最长公共子序列。
我们令$c[i][j]$表示$X_i$和$Y_j$的最长公共子序列的长度，那么可以得到以下关系：
情况1: $i==0$ 或者 $j== 0$时，$[i][j] = 0$;
情况2: $i, j > 0$且$x_i$ == $y_j$时， $c[i][j] = c[i-1][j-1] + 1$;
情况3: $i，j > 0$且$x_i$ != $y_j$时， $c[i][j] = max(c[i][j-1], c[i-1][j])$;
这也就是状态转移方程了。
同样，给出带有注释的代码可能更好理解，这里第一个版本返回的是最长公共子序列的长度。
在情况2和情况3的判断中，可以加入判断结果，将结果记录到一个辅助数组，这样就能回溯结果了，代码如下：
这里配合下图更好理解。
这里的根据路径输出的函数为：
参考文献：
1.lintcode Minimum Adjustment Cost。
2.《算法导论（第三版）》，15章，动态规划内容。
